Начертательная геометрия Многогранники Поверхность

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Справочние по физике
Учебное пособие по экоинформатике
Начертательная геометрия
Центральное проецирование
Метод Монжа
Типы задач начертательной геометрии
Методы преобразования ортогональных проекций
Метод плоскопараллельного перемещения
Фронтально проецирующая плоскость
Биссекторная плоскость
Горизонтальная плоскость
Фронтальная плоскость
Метод вспомогательных секущих плоскостей
Профильная плоскость
Многогранники
Пирамида
Тетраэдр
Звездчатые формы и соединения тел Платона
Пересечение пирамиды с призмой
Кривые линии
Цилиндрическая винтовая линия
Образование поверхности вращения
Образование сферы
Винтовые поверхности
Конические сечения
Пересечение конуса и призмы
Пересечение конуса и сферы
Свойства развертки
Пирамида и её развертка
Развертка призмы способом раскатки
Развертка конической поверхности
Задание касательной плоскости на эпюре Монжа
Сущность метода аксонометрического проецирования
Основная теорема аксонометрии
Изометрические проекции окружностей
Построение аксонометрических изображений
История искусства
Доисторическая эпоха
Египет
Индия и Китай Буддизм
Эллада архитектура живопись
Древнехристианская эпоха Византия
Дальнейшее развитие христианства в Европе
Архитектура Запада Романский стиль. Готика
Италия в эпоху возрождения Высший расцвет искусств
Нидерланды Фламандская и Голландская школы
Костюм XVIII-XIX веков
Linux установка
Использование среды рабочего стола в Linux
Система команд Linux
Общее администрирование системы
Работа в сетях Linux Internet
Linux как сервер
Web-сервер Linux

 

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является   одновременно стороной другого (но только одного)

Пирамида

Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами   многоугольников оснований

Тетраэдр Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим   философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Гексаэдр правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины

Икосаэдр состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

Звездчатые формы и соединения тел Платона Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Пересечение плоскости с многогранником

Пересечение плоскости общего положения с призмой Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения.

Пересечение прямой линии с пирамидой Для определения точек пересечения прямой линии с многогранником, задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями граней

Пересечение пирамиды с призмой Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.

Кривые линии - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Циклоида Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Парабола

Гипербола

Эллипс

Синусоида трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Касательные к кривой линии На кривой линии могут быть точки где разнонаправленные полукасательные не принадлежат одной прямой, а составляют между собой угол. Так на кривой а в точке В угол δмежду полукасательными не равен 180. Точка В в этом случае называется точкой излома или выпадающей точкой. Кривизна прямой в любой её точке равна нулю. Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления.

Цилиндрическая винтовая линия Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра

Свойства ортогональных проекций кривой линии Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося   вокруг своей оси так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса

Поверхность В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара - множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие "Поверхность" лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии.

Поверхность образованная движением линии Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий ( m, n, p...) . Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Образование поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i

Образование сферы Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси  i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Гиперболоид вращения При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым, если вокруг малой – сжатым или сфероидом

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма

Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная   движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии   m по криволинейной направляющей n

Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие   позиционные задачи

Линия и точка, принадлежащие поверхности

Пересечение сферы фронтально - проецирующей плоскостью В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения   позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая. Рассмотрим решение задачи   по определению линии пересечения сферы фронтально - проецирующей плоскостью

Пересечение сферы плоскостью общего положения Задача, когда сферу пересекает плоскость общего положения, например  заданная двумя пересекающимися прямыми α( h∩f) решается следующим образом

Пересечение параболоида вращения плоскостью общего положения Рассмотрим еще один способ решения позиционной задачи по определению линии, пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми

Конические сечения В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Пересечение прямой линии с конусом В общем случае для графического определения точек пересечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом

Вспомогательная секущая плоскость плоскость общего положения Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим. Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l и точкой S- вершиной конуса.

Взаимное пересечение поверхностей Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности. Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Пересечение конуса и призмы Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и параллельными одной из плоскостей проекций - плоскостями уровня. Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями

Пересечение полусферы и эллиптического цилиндра Пересечение сферы и цилиндра. В данном примере вспомогательные плоскости уровня могут быть параллельными плоскостям П2 и П1. В первом случае фронтальные плоскости пересекают сферу по окружности, а цилиндр по прямолинейным образующим.

Пересечение поверхностей вращения, оси которых параллельны фронтальной плоскости проекций Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами.

Пересечение поверхностей вращения, ось одной - горизонтально проецирующая прямая, а второй - горизонталь Вторым примером использования в качестве вспомогательных поверхностей посредников концентрических сфер рассмотрим при определении линии пересечения поверхностей предложенных на рисунке 8.34.

Пересечение конуса и сферы Эксцентрические сферические посредники применяются при определении точек линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью несущей на себе непрерывное множество окружностей. Обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии. Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям.

Пересечение сферы и эллиптического цилиндра Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка Теорема (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу Теорема Г. Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

Пересечение сферы и цилиндра Теорема . Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка

Развертка поверхности многогранников

Свойства развертки Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Пирамида и её развертка При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды

Развертка призмы способом нормального сечения В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. Пересекая призму вспомогательной плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

Развертка призмы способом раскатки Пример Развертка призмы, частный случай, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму. Чем больше углов в призме, тем точнее развертка ( при n → ∞призма преобразуется в цилиндр).

Развертка конической поверхности Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду

Плоскость касательная к поверхности Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания. Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности.

Параболические точки касания Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются эллиптическими.

Задание касательной плоскости на эпюре Монжа Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касательной плоскости к поверхности в данной точке, достаточно через эту точку провести две линии принадлежащие поверхности и к каждой из них провести касательные в заданной точке.

Поверхность касательная к поверхности При этом справедливо следующее положение: если биквадратная кривая линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на пару совпавших кривых 2-го порядка или на четыре совпавшие прямые, то имеется касание поверхностей по линии 2-го или 1-го порядка соответственно.

Аксонометрические проекции

Сущность метода аксонометрического проецирования Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

Основная теорема аксонометрии (теорема Польке) Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям. Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями  на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Стандартные аксонометрические проекции Согласно ГОСТ 2.317-69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

Изометрические проекции окружностей ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции и для прямоугольной диметрии

Построение аксонометрических изображений На ортогональном чертеже размечают оси прямоугольной системы координат, к которой и относят данный предмет. Оси ориентируют так, чтобы они допускали удобное измерение координат точек предмета. Например, при построении аксонометрии тела вращения одну из координатных осей целесообразно совместить с осью тела.

Средства мультимедиа в Linux