Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Интеграл Замена переменной интегрирование по частям

Экстремумы ФНП

Локальные максимумы и минимумы ФНП

Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): .

Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x0, y0): .

Максимум  и минимум  называют локальными экстремумами ФНП.

Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.

Если (x0, y0) – это такая критическая точка, в которой  и , то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y).

 

Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области

Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.

По свойствам непрерывных функций, непрерывная ФНП z = f (x, y) в замкнутой ограниченной области DxOy достигает своих наибольшего и наименьшего значений zнаиб = М. и zнаим = m, называемых глобальными экстремумами ФНП в области D. Эти значения zнаиб. и zнаим. достигаются или в точках локальных экстремумов функции z = f (x, y) внутри области D или на границе этой области. Провести полное исследование функций и построить их графики.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой ФНП в замкнутой ограниченной области D, нужно:

найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области D, и вычислить в них значения функции;

найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.

Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке.

Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке границы.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.

Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y) – дифференцируемая функция, и пусть M0(x0, y0, z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f (x0, y0).

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.

 Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:

.  (5)

Вектор  называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости (рис. 1).

Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая

 через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке.

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0), где z0 = f (x0, y0), имеют вид:

.  (6)

 

 

 

 Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.

.  (1)

Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:

Таким образом, на отрезке  интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.


Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах