Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Интеграл Замена переменной интегрирование по частям

Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов  и , называется выражение .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.

Если обозначить  – расстояние между близкими точками  и (х, у), то  – это определение непрерывности ФНП на языке приращений.

Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)ÎD, то она называется непрерывной ФНП в области D.

 Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно  и , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

Если , где  –бесконечно малые при , то полный дифференциал функции z = f (x, y) выражается формулой: , или:

 (1) Вычисление площади кривой поверхности Тройной интеграл

(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Dх = dx, Dy = dy).

Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малых  и  полное приращение функции Dz примерно равно ее полному дифференциалу:  с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно .

Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений  и .

 

Производные ФНП высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности непрерывные частные производные первого порядка  и . Так как  и  являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта:

– эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y).

Частные производные  и  называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример. Дана ФНП . Вычислим все её частные производные второго порядка.

Основное свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y) и её частные производные , ,  и  определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности, то в этой точке =, то есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.

 Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.

.  (1)

Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:

Таким образом, на отрезке  интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.


Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах