Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Предел последовательности Математика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.

- Последовательность  стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения  становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут:  (предел при n®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом  и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах