Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

= 1+ t2+ + o(t4), ln2(1+t) = (t  + o(t2))( t  + o(t2)) = t2  t3 + o(t3).

Отсюда g(t) =  ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2) является o(t3) и т. д.

Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.

 Рис. 35

Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах