Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey  yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0).

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x)  y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:

e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0.

Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x = . Для нахождения y¢¢xx дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную функцию от x

y¢x = ;

y¢¢xx =.

Вычисляем значения производных в точке x0=0. Нам не удалось получить производные в виде функций одной переменной x: y¢x выражена через x, y ; y¢¢xx выражена через x, y, y¢x . Из уравнения, задающего неявную функцию, находим соответствующее x0=0 значение y0=0; вычисляем y¢x(0)=2; наконец, вычисляем y¢¢xx(0)=0.

Часто более простым способом нахождения y¢¢xx является повторное дифференцирование заданного уравнения. В нашем случае это означает дифференцирование уравнения e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0:

e y· y¢ + e y· y¢+ x·e y·( y¢)2+ x·e y· y¢¢ y¢¢·ex– y¢·ex – y¢·ex  y·ex = 0.

Отсюда

y¢¢xx =.

Подставив значения y¢x, можно увидеть, что два внешне различных выражения для y¢¢xx, найденные разными способами, совпадут.

Ответ. y¢x = ; y¢x(0)=2;

y¢¢xx =; y¢¢xx(0)=0.

Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах