Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=

РЕШЕНИЕ.

По определению f ¢(x0)=. Запишем в других обозначениях, введя переменную x=x0+x и заменив x на x  x0:

f ¢(x0) = . В нашем случае x0=0 и f(x0)=0, поэтому

f ¢(0)=. В понятии предела сама точка x0=0 не рассматривается, поэтому берем f(x)= . При вычислении пределов в задачах под номером 12 необходимо использование эквивалентных бесконечно малых при x0. Напоминаем их:

 x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ln(1+x) ~ ex 1; loga(1+x) ~ x loga e = x / lna;

ax 1 ~ x lna; (1+x)1 ~ xпри любом действительном ; 1 cos x ~ x2/2.

В нашем случае x sin=0 произведение бесконечно малой на ограниченную поэтому arctg(x sin) ~ (x sin) и

  ~ arctg(x sin),

так как y= arctg(x sin) – бесконечно малая приx0 и

  = 1 = (1+y)1 ~ (1/2)y.

Применяя полученные результаты, вычисляем предел

f ¢(0) = = = sin.

Делаем вывод: предел не существует, так как sin t при t не стремится к одному определенному значению, а изменяется от –1 до 1 на любом интервале вида (b, ¥).

Ответ. Производная f ¢(0) у заданной функции f(x) не существует.Заметим, что f(x) является непрерывной в точке x0=0, поскольку из факта xsin=0 следует  = 0, что совпадает со значением функции в точке, заданным в условии задачи.

Найти интеграл .

Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Тогда данный интеграл запишем в виде:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую часть путем деления многочлен на многочлен: .

Возвращаясь к интегралу, получим:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах