Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела .

РЕШЕНИЕ.

 Область  ограничена с боков координатными плоскостями   и цилиндрической поверхностью . Снизу она “накрыта” плоскостью , сверху  поверхностью параболоида   (рис.79).

 

Рис.79

 Область  является -цилиндрическим брусом. Масса тела может быть вычислена по формуле:

.

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

=

=[ замена переменных  ]=

Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются:

.

Ответ. Масса заданного тела равна 1.

Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах