Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Найти массу пластинки

(): ,

Плотность массы пластинки  Тройные и двойные интегралы при решении задач Замена переменных в двойных интегралах

РЕШЕНИЕ.

 Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

.

Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

.

Рис.78

 Очевидно, что область  () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

.

Выбор  обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов. Положим для заданной области :

.

Якобиан преобразования вычисляется по формуле .

Совершим преобразование области  (): уравнение эллипса  перейдет в , т.е.   эллипс преобразуется в

окружность радиуса 1; эллипс  переходит в окружность ; прямая   в луч , прямая   в луч  (действительно,  и ). Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе координат:

.

В данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов, так как внутренний интеграл по  есть скаляр. Вычислим их:

;

.

Таким образом, .

Ответ. Масса пластинки равна 1.

Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах