Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Найти объем тела , ограниченного поверхностями

а) ; б) ; в)  .

РЕШЕНИЕ.

 Изобразим тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12 и (“снизу”)  конусом ; от полученного таким образом тела плоскостями   и  “отрезается” заданное условием задачи тело (V) (рис.77) . Поле рациональных дробей Эвристические соображения.

Рис.77

  Объем тела может быть вычислен по формуле . Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на  z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела  такова, что вычисление тройного интеграла удобнее провести в сферической системе координат r,,  связанной с декартовой системой координат формулами:

.

Якобиан такого преобразования . Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

==;

.

Для объема тела получим

.

Ответ. .

Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах