Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

РЕШЕНИЕ.

  Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2,

(1):  ;

(2):  Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы  и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

Рис.73

Уравнение “нижней” кривой есть , “верхней” - прямая . Поэтому ():  и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл:

Ответ. 

 

ЗАДАНИЕ  6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 .

РЕШЕНИЕ.

 Тело  ограничено с “боков” плоскостью  и цилиндром (цилиндрической поверхностью)  . “Снизу” тело “накрыто” плоскостью , сверху – плоскостью . Изобразим на чертеже заданное тело (рис.74).

Рис.74

Очевидно, тело  есть - цилиндрический брус. Область (), являющуюся ортогональной проекцией тела  на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы  с прямой . Опуская подробности вычислений, получим, что прямая и “положительная” ветвь параболы пересекаются в точке, в которой . Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла. Учитывая, что тело “стоит” на плоскости  , для объема запишем формулу  и перейдем к повторному интегралу. Область (), изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является - трапецией:

(): .

 Записав объем через повторный интеграл и производя вычисления, последовательно получим

V=.

Ответ. Объем тела равен 80.

Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах