Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты. Комплексные числа Определение. Алгебраическая форма записи.

, следовательно

, следовательно   - полюс.

Так как , то  - полюс порядка .

.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Так как  и  - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , .

Таким образом, .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

;

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  является четной, то =. Построим функцию = такую, что  на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при  справедливо равенство . Функция  имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции   относительно этого полюса равен =. Следовательно, = и =.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция аргументов  и ,  и функция  непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

=

где  есть сумма вычетов функции  относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку  и после преобразований получим: =. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции  - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно точки   равен =. Следовательно, =.

Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах