Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция  имеет две особые точки  и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки  и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция  является аналитической: Определители и матрицы Контрольные вопросы:1. Определители. Правила вычисления определителей.

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу

  (1)

справедливую при .

Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби  и  в виде , где  при . Представим функцию  следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как  и тем более  (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит  и поэтому

.

Функцию  представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция  имеет 2 особые точки  и , отметим их на плоскости Z. Точка  совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция  является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции  по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда  и . Дробь  разложим по степеням  как в предыдущем примере. При  воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при  функция  представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби  в области  

Сделав обратную замену, получаем, что при  функция  представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах