Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

 (1)

  (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах