Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а) Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы для нахождения решения системы.

б) По определению .

,

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е.  для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е.  для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел  и частные производные  существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная  существует в любой точке  комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах