Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Интегрирование рациональных функций

Задания для подготовки к практическому занятию

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, следует числитель разделить на знаменатель, выделив целую часть.

Пример . Вычислить .

Так как дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Таким образом, дробь представляется в виде . Следовательно,

.

Делением в столбик можно пользоваться при любой степени знаменателя. Справедливости ради стоит отметить, что если знаменатель первой степени, как в приведенном примере, может оказаться проще сделать замену (в данном случае t=x+2), так что числитель будет делить на знаменатель почленно.

Если под интегралом находится правильная дробь (степень числителя меньше степени знаменателя), то знаменатель раскладывают на множители (это возможно для всякого многочлена степени выше 2 и для половины многочленов степени 2) и пользуются теоремами об отделении, представляя дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

Пример. Для дроби  выписать разложение в сумму элементарных дробей с неопределенными коэффициентами:

Степень числителя 4, степень знаменателя 5, дробь правильная. Воспользуемся последовательно первой теоремой об отделении:

,

где  A,B,C,D,E – некоторые числа (обратите внимание: Р0(х) – многочлен нулевой степени – это число).

Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах