Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Интеграл Замена переменной интегрирование по частям

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Указание. Считать плотность вещества .

Решение.

 Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств:  где  – это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.

Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (11):

.

Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:

Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Решение.

  Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):

,

где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.

Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:

,

где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств:  при R = 0,5 и H = 2.

Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной z: .

Затем находим интеграл по переменной r:

 Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:

.

Ответ:  ед. массы.

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.


Решение примерного варианта контрольной работы