Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Интеграл Замена переменной интегрирование по частям

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

проверить, является ли функция w аналитической;

в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.


Решение примерного варианта контрольной работы