Справочник по основным разделам физики Математика примеры решения задач Курс теоретических основ электротехники Начертательная геометрия История искусства
Интеграл Замена переменной интегрирование по частям

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):

,

где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.

В двумерном случае: , где BCxOy.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси Ox и Oy вектора переменной силы , то

 А = (13)

– это работа силы  при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги BC.

Пусть кривая BC задана параметрически:  причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а tB, tC – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда

и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:

.

 

Векторная функция скалярного аргумента

Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Откладывая векторы  при  от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции .

Проекции вектора  на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:

,

где векторы  – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.

Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции  находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:

,

.

Если параметр t – это время, то векторное уравнение  называют уравнением движения точки, а годограф вектор-функции  является траекторией движения. Тогда вектор-производная  называется скоростью движения точки в момент времени t:

.  (14)

Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t. Вектор

 (15)

называется ускорением движения точки в момент времени t.

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской криволинейной трапеции.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

Найдем координаты точек пересечения данных линий:


Решение примерного варианта контрольной работы