Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Физика, математика, история искусства Лекции, задачи, примеры

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Справочние по физике
Учебное пособие по экоинформатике
Начертательная геометрия
Центральное проецирование
Метод Монжа
Типы задач начертательной геометрии
Методы преобразования ортогональных проекций
Метод плоскопараллельного перемещения
Фронтально проецирующая плоскость
Биссекторная плоскость
Горизонтальная плоскость
Фронтальная плоскость
Метод вспомогательных секущих плоскостей
Профильная плоскость
Многогранники
Пирамида
Тетраэдр
Звездчатые формы и соединения тел Платона
Пересечение пирамиды с призмой
Кривые линии
Цилиндрическая винтовая линия
Образование поверхности вращения
Образование сферы
Винтовые поверхности
Конические сечения
Пересечение конуса и призмы
Пересечение конуса и сферы
Свойства развертки
Пирамида и её развертка
Развертка призмы способом раскатки
Развертка конической поверхности
Задание касательной плоскости на эпюре Монжа
Сущность метода аксонометрического проецирования
Основная теорема аксонометрии
Изометрические проекции окружностей
Построение аксонометрических изображений
История искусства
Доисторическая эпоха
Египет
Индия и Китай Буддизм
Эллада архитектура живопись
Древнехристианская эпоха Византия
Дальнейшее развитие христианства в Европе
Архитектура Запада Романский стиль. Готика
Италия в эпоху возрождения Высший расцвет искусств
Нидерланды Фламандская и Голландская школы
Костюм XVIII-XIX веков
Linux установка
Использование среды рабочего стола в Linux
Система команд Linux
Общее администрирование системы
Работа в сетях Linux Internet
Linux как сервер
Web-сервер Linux

Справочник по основным разделам физики

  • Физические законы механики Кинематика материальной точки Кинематика поступательного движения Справочник по основным разделам физики
  • Динамика материальной точки Справочник по основным разделам физики
  • Силы в механике Справочник по основным разделам физики
  • Энергия. Работа. Законы сохранения Кинетическая энергия – функция состояния системы, определяемая только скоростью её движения
  • Динамика вращательного движения твердого тела Момент силы относительно неподвижной точки
  • Теория теготения Ньютона Закон всемирного тяготения: сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
  • Законы Кеплера Первый закон Кеплера: Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находиться Солнце. Второй закон Кеплера: радиус вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади
  • Специальная теория относительности (СТО) Преобразования Галилея: Принцип относительности Галилея: Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Основные положения общей теории относительности (ОТО)
  • Молекулярная физика и термодинамика Справочник по основным разделам физики
  • Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям Скорость звука в газ Справочник по основным разделам физики
  • Элементы физической кинематики Справочник по основным разделам физики
  • Изучение закона сохранения механической энергии Лабораторные работы по физике
  • Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) – количество теплоты Q, сообщенное телу, идет на увеличение внутренней энергии ΔU и на совершение телом работы А
  • Круговые процессы. Тепловые машины Круговой процесс (цикл) – это такой процесс, в результате которого термодинамическое тело возвращается в исходное состояние. Прямой цикл (за цикл совершается положительная работа)
  • Конспекты Лекции по физике
  • Втрое и третье начала термодинамики Приведённая теплота – это отношение теплоты Q в изотермическом процессе к температуре Т, при которой происходит передача теплоты
  • Термодинамические свойсива реальных газов Справочник по основным разделам физики
  • Уравнение состояние идеального газа: , где v – число молей газа; Р – давление; Т – температура; V – объем.
  • Реальные газы – газы, свойства которых зависят от взаимодействия молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа
  • Электростатика. Постоянный ток в электрическом поле в вакууме Закон Кулона: сила взаимодействия точечных зарядов в вакууме пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
  • Лекции и задачи по физике
  • Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме – поток напряженности электрического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорциональна полному заряду, находящемуся внутри этой поверхности
  • Потенциал и работа электростатического поля. Связь между напряженностью и потенциалом Справочник по основным разделам физики
  • Диэлектрики в электростатическом поле Справочник по основным разделам физики
  • Проводники в электростатическом поле Электростатическое экранирование – внутрь проводника поле не проникает Электрическая емкость уединенного проводника – физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу
  • Постоянный электрический ток Электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц. За направление тока принимают направление движения положительных зарядов
  • Электрический ток в газах, металах и электролитах Удельная электропроводность – физическая величина, равная электропроводности цилиндрического проводника единичной длины и единичной площади поперечного сечения
  • Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
  • Силы, действующие на движущие заряды а магнитном поле Закон Ампера: сила , с которой магнитное поле действует на элемент  проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию :
  • Явление электромагнитной индукции Закон фарадея: ЭДС индукции контура равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизывающей этот контур. 
  • Самоиндукция и взаимоиндукция ЭДС самоиндукции контура ­– это ЭДС индукции, возникающая в самом контуре
  • Магнитные свойства вещества Парамагнетики – это вещества, атомы которых имеют, в отсутствии внешнего магнитного поля, отличный от нуля магнитный момент
  • Колебание и волны. Уравнение гармонических колебаний Справочник по основным разделам физики
  • Сложение гормонических колебаний Справочник по основным разделам физики
  • Электрические колебания Переменный ток – электрический ток, изменяющийся во времени Справочник по основным разделам физики
  • Упругие волны Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе
  • Электромагнитные волны Справочник по основным разделам физики
  • Геометрическая оптика и фотометрия Закон отражения света – отраженный и падающий лучи лежат в плоскости, содержащей перпендикуляр к отражающей поверхности в точке падения, и угол падения равен углу отражения
  • Волновая оптика Интерференция света Справочник по основным разделам физики
  • Дифракция света Площадь одной зоны Френеля (зоны Френеля – участки, на которые можно разбить поверхность световой волны для вычисления результатов дифракции света)
  • Взаимодействие света с веществом Зависимость угла отклонения лучей призмой φ от преломляющего угла А призмы и показателя преломления п:
  • Квантовая оптика. Энергетическая светимость тела – поток энергии (любых частот), испускаемый единицей поверхности излучающего тела в единицу времени во всех направлениях
  • Квантовые явления в оптике Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитных излучений. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
  • Волновые свойства микрочастиц вещества Справочник по основным разделам физики купить детский квадроцикл
  • Движение свободной частицы в обномерной потенциальной яме Уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся в отсутствии внешних полей
  • Физика конденсированного состояния Молярная внутренняя энергия химически простых твердых тел в классической теории теплоемкости
  • Модели атомов. Атом водорода по теории Бора Справочник по основным разделам физики
  • Водородоподобные системы в квантовой механике Волновая функция положения электрона в атоме
  • Физика атомного ядра Справочник по основным разделам физики

Начертательная геометрия

В курсе начертательной геометрии изучаются:

  • методы отображения пространственных объектов на плоскости
  • способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;
  • приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;
  • способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;
  • основы моделирования геометрических объектов.

Виды проецирования

Отображение множеств Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости

Проекции с числовыми отметками В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций Пi называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П0. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П0 ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости   П0

Метод Монжа Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Линии проекционной связи Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А 1 и А2 расположенные на прямых, пересекающих ось x 12 в точке А x  под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно   к П1 и П2. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П1 П2 и П3   относятся к   основным плоскостям проекций.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2. 3. Третья плоскость, перпендикулярная и П1,   и П2,   обозначается буквой П3 и называется профильной.

Взаимное расположение точек Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек

Конкурирующие координаты Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой.

Прямая линия

Двумя плоскостями Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой  построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Положение прямой относительно плоскостей проекций. Следы прямой В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Прямые уровня Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями

Прямые параллельные фронтальной плоскости Прямые параллельные фронтальной плоскости  проекций называются фронтальными или фронталями

Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными

Фронтально проецирующая прямая

Профильно проецирующая

Горизонтально проецирующая прямая

Прямые параллельные биссекторным плоскостям

Взаимное расположение точки и прямой Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой).

Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня В тех случаях когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П1, П2 и П3), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П1, П2 или П3. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости   проекций

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций

Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС   |A С |=|A 1 B 1 |, |BС|= DZ , угол a- угол наклона отрезка к плоскости П 1 , b- угол наклона   отрезка к плоскости П2

Параллельные прямые линии Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые параллельные профильной плоскости проекций Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций  

Пересекающиеся прямые Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи

Одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций, по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении.

Пересекающиеся прямые расположены в фронтально проецирующей плоскости Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций

Скрещивающиеся прямые Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Проекции плоских углов Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость

Типы задач начертательной геометрии

Расстояние от точки до горизонтально проецирующей прямой    Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических объектов

Методы преобразования ортогональных проекций  Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций т.е. является прямой уровня, то без преобразования ортогональных проекций можно только найти проекции перпендикуляра

Метод плоскопараллельного перемещения Изменение взаимного положения проецируемого объекта   и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем   изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций

Метод вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций.

Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми. Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К.

Метод замены плоскостей проекций плоскости проекций Последовательный   переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси. Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4.

Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций

Способы графического задания плоскостей

Плоскость заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

Плоскость заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии Плоскость одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми линиями

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми линиями

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекции В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций

Фронтально проецирующая плоскость Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций ( a ^ П 2 )- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом   a П2

Биссекторная плоскость Плоскость перпендикулярная профильной плоскости ( a^ П 3 ) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость

Горизонтальная плоскость Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня.

Фронтальная плоскость Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня.

Прямая параллельна плоскости При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскостии не принадлежит этой плоскости.

Построение следов плоскости Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Метод вспомогательных секущих плоскостей Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для  решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Сущность метода заключается  в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость g и установим относительное положение двух прямых а и в, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости   g и данной  плоскости a

Прямая линия, принадлежащая плоскости Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости

Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости Аксиома Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости

Главные линии в плоскости Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве

Фронталь - прямые, расположенные в плоскости и параллельные   фронтальной плоскости проекций

Профильные прямые - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций

Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций.

Профильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций a //П ) , a ^ П1, a^ П2) .Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П 3 без искажения, а на плоскости П 1 и П 2 в прямые - следы плоскости  a 1 и a Прямая линия, пересекающая плоскость

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости – основная задача начертательной геометрии.

Построение прямой, перпендикулярной плоскости Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежащая плоскости

Точка не принадлежащая плоскости Возможны два варианта взаимного   расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет. Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну .

Взаимное расположение двух плоскостей

Параллельные плоскостиДве плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют   собой частный случай пересекающихся плоскостей. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. 

Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Пересечение плоскостей общего положения последовательность построения линии пересечения плоскостей Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a ( m // n ) и b (АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d . Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями.

Взаимно перпендикулярные плоскости Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a( f, h).

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является   одновременно стороной другого (но только одного)

Пирамида

Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами   многоугольников оснований

Тетраэдр

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим   философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Гексаэдр правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины

Икосаэдр состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

Звездчатые формы и соединения тел Платона Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Пересечение плоскости с многогранником

Пересечение плоскости общего положения с призмой Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения.

Пересечение прямой линии с пирамидой Для определения точек пересечения прямой линии с многогранником, задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями граней

Пересечение пирамиды с призмой Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.

Кривые линии - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Циклоида Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Парабола

Гипербола

Эллипс

Синусоида трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Касательные к кривой линии На кривой линии могут быть точки где разнонаправленные полукасательные не принадлежат одной прямой, а составляют между собой угол. Так на кривой а в точке В угол δмежду полукасательными не равен 180. Точка В в этом случае называется точкой излома или выпадающей точкой. Кривизна прямой в любой её точке равна нулю. Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления.

Цилиндрическая винтовая линия Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра

Свойства ортогональных проекций кривой линии Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося   вокруг своей оси так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса

Поверхность В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара - множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие "Поверхность" лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии.

Поверхность образованная движением линии Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий ( m, n, p...) . Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Образование поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i

Образование сферы Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси  i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Гиперболоид вращения При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг большой оси то эллипсоид называется вытянутым, если вокруг малой – сжатым или сфероидом

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма

Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная   движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии   m по криволинейной направляющей n

Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие   позиционные задачи

Линия и точка, принадлежащие поверхности

Пересечение сферы фронтально - проецирующей плоскостью В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения   позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая. Рассмотрим решение задачи   по определению линии пересечения сферы фронтально - проецирующей плоскостью

Пересечение сферы плоскостью общего положения Задача, когда сферу пересекает плоскость общего положения, например  заданная двумя пересекающимися прямыми α( h∩f) решается следующим образом

Пересечение параболоида вращения плоскостью общего положения Рассмотрим еще один способ решения позиционной задачи по определению линии, пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми

Конические сечения В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Пересечение прямой линии с конусом В общем случае для графического определения точек пересечения линии с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом

Вспомогательная секущая плоскость плоскость общего положения Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим. Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l и точкой S- вершиной конуса.

Взаимное пересечение поверхностей Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности. Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Пересечение конуса и призмы Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и параллельными одной из плоскостей проекций - плоскостями уровня. Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями

Пересечение полусферы и эллиптического цилиндра Пересечение сферы и цилиндра. В данном примере вспомогательные плоскости уровня могут быть параллельными плоскостям П2 и П1. В первом случае фронтальные плоскости пересекают сферу по окружности, а цилиндр по прямолинейным образующим.

Пересечение поверхностей вращения, оси которых параллельны фронтальной плоскости проекций Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами.

Пересечение поверхностей вращения, ось одной - горизонтально проецирующая прямая, а второй - горизонталь Вторым примером использования в качестве вспомогательных поверхностей посредников концентрических сфер рассмотрим при определении линии пересечения поверхностей предложенных на рисунке 8.34.

Пересечение конуса и сферы Эксцентрические сферические посредники применяются при определении точек линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью несущей на себе непрерывное множество окружностей. Обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии. Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям.

Пересечение сферы и эллиптического цилиндра Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка Теорема (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу Теорема Г. Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

Пересечение сферы и цилиндра Теорема . Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка

Развертка поверхности многогранников

Свойства развертки Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Пирамида и её развертка При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды

Развертка призмы способом нормального сечения В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. Пересекая призму вспомогательной плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.

Развертка призмы способом раскатки Пример Развертка призмы, частный случай, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину

Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму. Чем больше углов в призме, тем точнее развертка ( при n → ∞призма преобразуется в цилиндр).

Развертка конической поверхности Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду

Плоскость касательная к поверхностиКасательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания. Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности.

Параболические точки касания Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются эллиптическими.

Задание касательной плоскости на эпюре Монжа Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касательной плоскости к поверхности в данной точке, достаточно через эту точку провести две линии принадлежащие поверхности и к каждой из них провести касательные в заданной точке.

Поверхность касательная к поверхности При этом справедливо следующее положение: если биквадратная кривая линия пересечения двух поверхностей второго порядка распадается на пару совпавших кривых 2-го порядка или на четыре совпавшие прямые, то имеется касание поверхностей по линии 2-го или 1-го порядка соответственно.

Аксонометрические проекции

Сущность метода аксонометрического проецирования Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

Основная теорема аксонометрии (теорема Польке) Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям. Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями  на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Стандартные аксонометрические проекции Согласно ГОСТ 2.317-69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

Изометрические проекции окружностей ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции и для прямоугольной диметрии

Построение аксонометрических изображений На ортогональном чертеже размечают оси прямоугольной системы координат, к которой и относят данный предмет. Оси ориентируют так, чтобы они допускали удобное измерение координат точек предмета. Например, при построении аксонометрии тела вращения одну из координатных осей целесообразно совместить с осью тела.

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике